1. Temel Sinyaller, Temel İşlemler

Bilgisayarda verilerimiz (görüntü, metin, vb.) sayı dizisi olarak temsil edilir. Ses için de aynı durum geçerlidir: ses verilerimiz analog elektrik sinyalinden belirli zaman aralıklarıyla alınan değerlerin yanyana yerleştirilmesiyle elde edilen dizilerle temsil edilir. Bilgisayarla sayısal sinyal işleme bağlamında sayısal sinyal kavramını “sayı dizisi” olarak düşünebiliriz.

Şekil 1.1: Ses sinyalinin sayısal sinyal olarak temsili

Bu nedenle sayısal ses işleme algoritması tasarlamak temelde dizi işlemleri yapan fonksiyonlar yazmaya karşılık gelir. Analiz için yazılan fonksiyonlarda, işlenen sinyalin bazı temel sinyaller (örneğin sinüsler) cinsinden ifade edilmesini sağlayan işlemler gerçekleştirilir. Sentez için yazılan fonksiyonlarda da temel sinyalleri değiştirip toplayarak hedeflenen sinyal oluşturulur. Bu defterde amaç sayısal sinyal işlemede yaygın olarak kullanılan temel sinyallerin oluşturulmasına örnekler sunmak ve verilen bir sinyalin analizinde kullanılan temel dizi işlemlerine giriş yapmaktır. Bu defter aynı zamanda Python ile ses işlemeye başlama için atılacak ilk küçük adım olarak da düşünülebilir.

Defter boyunca Python’da dizi işlemleri için en yaygın olarak tercih edilen kütüphane olan NumPy kütüphanesini kullanacağız. Daha önce NumPy kütüphanesini kullanmadıysanız öncelikle temel düzeyde bilgi sahibi olmak için yardımcı bir kaynağı incelemenizi öneririz. Stanford Üniversitesi CS231n dersinin yardımcı kaynağını veya NumPy QuickStart dokümanını inceleyebilirsiniz. Veya Ekler bölümünde sunduğumuz Numpy Hızlı Tekrar defterini inceleyebilirsiniz.

1.1. Temel sinyaller

1.1.1. Birim dürtü, birim basamak, rampa ve üstel sinyaller

İlk olarak birim dürtü (İng: unit sample, delta), birim basamak (İng: unit step), rampa sinyali (İng: ramp signal) ve üstel seri (İng: power series) sinyallerini ele alacağız. Sinüzoidal sinyalleri üstel seri sinyallerinin özel bir hali olarak ele alacağız. Bu dört sinyal türü ve varyantları, ihtiyacımız olan temel sinyal bileşenlerini oluşturmak için yeterli olacak. Örneğin verilen herhangi bir sayısal sinyal, bir dizi dürtü sinyalinin toplamı olarak temsil edilebilir. Bu temel sinyalleri kodla oluşturarak başlayalım.

Önemli not: Sinyal işleme kuramı formüllerinde uzunluk ve zaman boyutlarında sonsuz ifadeler yaygın olarak kullanılır. Sınırlı bir hafızada işlem yaptığımız için sinyallerimizi sınırlı uzunlukta tutmak zorundayız. Örneğin birim basamak fonksiyonu tanım gereği sonsuz uzunlukta bir sinyal olarak ifade edilse de biz birim basamak sinyalini sınırlı bir uzunlukta oluşturup kullanacağız.

Birim dürtü:

\[\begin{split}\delta[n] = \begin{cases} 0, & \quad n \neq 0\\ 1, & \quad n = 0 \end{cases} \end{split}\]

Birim basamak:

\[\begin{split}u[n] = \begin{cases} 0, & \quad n < 0\\ 1, & \quad n \geq 0 \end{cases} \end{split}\]

Üstel seri sinyali (eksponansiyel sinyal (İng: exponential signal)):

\[x[n] = \alpha^n \]

Temel sinyallerle ilgili inceleyebileceğiniz bir kaynak: Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri: Sayısal İşaret İşleme

Kullanacağımız kütüphaneleri yükleyerek başlayalım.

from ipywidgets import interact, interactive, fixed, interact_manual, FloatSlider
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
import IPython
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')

İlk olarak zaman eksenini temsil edecek N uzunluğunda bir dizi oluşturalım. n = [-N/2,...0,...N/2-1] Burada n tamsayı değerleri almakta ve örnek endeksi görevi taşımaktadır. Örneğin, saniyede 1000 örnek içeren bir sinyalde n = 100 endeksi ile eriştiğimiz sinyal değeri, kaydın 100. milisaniyesindeki, ölçümle elde edilen veya sentezlenen, örnektir.

# Negatif zaman endekslerini de dahil edecek şekilde oluşturalım
N = 20
n = np.arange(-N / 2, N / 2) # [-10, -9, ..., 8, 9]

# Birim dürtü: her yerde sıfır, sadece n=0'da 1
durtu = np.zeros((N, ))
durtu[n == 0] = 1

# Birim basamak: her yerde sıfır, sadece n >=0 için 1
basamak = np.zeros((N, ))
basamak[n >= 0] = 1

# Eksponansiyel/üstel sinyal 
alfa = 0.95
exp_sig = np.power(alfa, n) # veya exp_sig = np.array([pow(alfa,i) for i in n])

# Çizdirme işlemleri
fig = plt.figure(figsize=(12,3))
plt.subplot(1,3,1)   
plt.stem(n, durtu, label = 'birim dürtü')
plt.ylabel('Genlik');
plt.legend();
plt.subplot(1,3,2)
plt.stem(n, basamak, label = 'birim basamak')
plt.xlabel('Ayrık zaman endeksi (n)')
plt.legend();
plt.subplot(1,3,3)
plt.stem(n, exp_sig, label = 'üstel sinyal')
plt.legend();

Şekil 1.2: Temel sayısal sinyaller: birim dürtü, birim basamak, üstel sinyal

Birim dürtünün varyantı olarak düşünülebilecek önemli bir sinyal ‘dürtü katarı’dır (İng: impulse train): belirli bir periyotta tekrarlanan dürtülerden oluşur. İleride örnekleme işlemlerini açıklarken ihtiyaç duyacağız. 50 örnek periyotlu bir dürtü katarı oluşturalım.

# Bu örnekte sadece pozitif zaman endekslerini kullanalım
N = 400
n = np.arange(N) # [0, 1, 2, ..., N-1] dizisini oluşturur
T0 = 50

# Dürtü katarının oluşturulması
durtu_katari = np.zeros((N, ))
durtu_katari[ n % T0 == 0] = 1 # n'nin T0'a tam bölündüğü endekslerde değer 1'e eşleniyor

# Çizdirme işlemleri
fig = plt.figure(figsize=(12,3))  
plt.stem(n, durtu_katari, label = 'dürtü katarı')
plt.ylabel('Genlik');
plt.xlabel('Ayrık zaman endeksi (n)')
plt.legend();

Şekil 1.3: Dürtü katarı sinyali

Yukarıdaki sinyalin saniyenin eşit zaman adımlarında 10000 örnek alınarak oluşturulduğunu düşünelim. Sinyalin saniye cinsinden uzunluğu nedir? Sinyalin frekansı nedir? (saniyede kaç tekrar vardır?)

İpucu: ayrık zaman (n) ile sürekli zaman (t) arasında doğrusal bir ilişki vardır: \(N (\text{örnek sayısı}) = \lfloor t(saniye) \times F_{s} (\text{örnek sayısı/saniye}) \rfloor\)

Egzersiz:

Diğer bir temel sinyal rampa sinyalidir.

Rampa sinyali oluşturup çizdiren bir kod parçası yazınız.

Şekil 1.4: Rampa sinyali

# Örnek çözüm
N = 50
n = np.arange(- N / 2, N / 2) # [-N/2, -N/2+1, ...-1, 0, 1, ..., N/2-1] dizisini oluşturur

rampa = np.zeros((N, ))
rampa[n >= 0] = n[n >= 0]

fig = plt.figure(figsize=(4,3))
plt.stem(n, rampa, label = 'rampa')
plt.grid()
plt.xlabel('Ayrık zaman endeksi (n)'); 
plt.ylabel('r[n]');
plt.legend();

Şekil 1.5: Oluşturulan rampa sinyali

Not: Yukarıdaki örneklerde ayrık zaman temsilini açıkça göstermek için stem-plot tercih ettik. Pratikte, elimizdeki sinyallerin tümünün ayrık zamanda sinyaller olduğunu bildiğimiz için veri noktaları arası çizgi kullanılarak oluşturulan çizimleri tercih ederiz. Özellikle ayrık zamanı göstermek istediğimiz durumlar dışında bundan sonraki örneklerimizde çizimleri bu şekilde (noktalar arasını birleştiren çizgilerle) yapacağız.

Egzersiz: Pencere fonksiyonları (İng: windowing functions) temel sinyaller arasında yer almamakla beraber analiz sırasında yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu sinyalleri de matematiksel tanımlarından yola çıkarak oluşturabilmemiz gerekecektir. Altta çizimi verilen üçgen pencere (İng: triangular window) sinyalini oluşturup çizdiren bir kod parçası yazınız.

Şekil 1.6: Üçgen pencere ve genlik spektrumu

# Örnek çözüm

N = 101
# N'nin tek veya çift olmasına göre orta nokta farklı olacak, bunu dikkate almalıyız 
#  Pencere tanımları tekil değildir ve uygulamaya/amaca göre farklı tanımlanabilir
#  Bu örnekte pencerenin sınır değerleri sıfır seçilmiştir
#  Bu şekilde tercih edilmeyen uygulamalar mevcuttur. 

yari_N = N // 2
if N % 2 == 0: # N'in çift olduğu durum
  ucgen_pencere = np.concatenate((np.linspace(0, 1, num=yari_N, endpoint=False), 
                               np.linspace(1-1/yari_N, 0, num=yari_N, endpoint=True)))
else: # N'in tek olduğu durum
  ucgen_pencere = np.concatenate((np.linspace(0, 1, num=yari_N, endpoint=False), 
                               np.linspace(1, 0, num=yari_N+1, endpoint=True)))

fig = plt.figure(figsize=(4,3))
plt.plot(np.arange(N), ucgen_pencere)
plt.xlabel('Ayrık zaman endeksi (n)'); plt.ylabel('w[n]');
plt.grid()

Şekil 1.7: Oluşturulan üçgen pencere sinyali

Diğer bir örnek: Hanning pencere fonksiyonu. Tanımı ve örnek olarak sunulan fonksiyonu inceleyiniz.

Şekil 1.8: Hanning pencere ve genlik spektrumu

# Hanning fonksiyonunu denklemden yola çıkarak şu şekilde yazabiliriz
def hanning(N):
  n = np.arange(N)
  return 0.5*(1-np.cos(2*np.pi*n/N))

Pencere fonksiyonlarına ilerleyen kısımlarda ihtiyaç duyacağız. Yaygın kullanıldıklarından ötürü hazır kütüphaneler içerisinde bu pencerelerin oluşturulması için fonksiyonlar mevcuttur. Aşağıda Scipy kütüphanesindeki fonksiyonlar kullanarak üç sık kullanılan pencere fonksiyonunu oluşturan ve üstüste çizdiren bir örnek sunuyoruz:

# Hazır kütüphane fonksiyonlarını kullanmak istersek:
from scipy import signal
N = 100
triang_scipy = signal.get_window('triang', N) 
hann_scipy = signal.get_window('hann', N) 
hamming_scipy = signal.get_window('hamming', N) 
fig = plt.figure(figsize=(4,3))
n = np.arange(N)
plt.plot(n, triang_scipy, 'b', label = 'üçgen pencere')
plt.plot(n, hann_scipy, 'k', label = 'hanning penceresi')
plt.plot(n, hamming_scipy, 'r', label = 'hamming penceresi')
plt.grid()
plt.legend();
plt.xlabel('Ayrık zaman endeksi (n)'); plt.ylabel('w[n]');
plt.show()

Şekil 1.9: Scipy.signal kütüphanesi ile oluşturulan çeşitli pencere sinyalleri/fonksiyonları: Üçgen pencere, Hanning penceresi, Hamming penceresi

1.1.2. Kompleks eksponansiyel sinyal

(İng: complex exponential signal)

Eksponansiyel sinyal türünde bir örneği yukarıda oluşturmuştuk. Şimdi \(\alpha\)’yı kompleks bir değer alacak şekilde değiştirelim. İlk olarak normu 1’den küçük bir kompleks sayı kullanacağız: \(\left | \alpha \right | < 1\)

N = 80 # Oluşturacağımız sinyaldeki örnek sayısı
n = np.arange(- N / 2, N / 2) # Ayrık zaman endeks serisi oluşturulması

alfa = 0.95 + 0.2375j # Üstü alınacak alfa değeri
print('alfa = ', alfa, '|alfa| = ', abs(alfa))

exp_sig = np.power(alfa, n) # eksponansiyel sinyalin alfa ve n'den oluşturulması
print('Sinyalin ilk 10 değeri:')
print(exp_sig[:10])

alfa =  (0.95+0.2375j) |alfa| =  0.9792375860841943
Sinyalin ilk 10 değeri:
[-2.15429311+0.84641635j -2.24760234+0.29245092j -2.20467931-0.25597719j
 -2.03365077-0.76678966j -1.74985568-1.21144224j -1.37464537-1.56646085j
 -0.93387865-1.81461608j -0.4562134 -1.94568146j  0.02869662-1.95674807j
  0.49198946-1.85209521j]

Elde ettiğimiz dizideki/sinyaldeki değerler kompleks. Gerçel ve sanal kısımlarını ayrı çizdirelim.

fig = plt.figure(figsize=(15,3))
plt.stem(n, exp_sig.real, 'b', label = 'gerçel kısım')
plt.stem(n, exp_sig.imag, 'r', markerfmt='Dr', label = 'sanal kısım')
plt.vlines(0, -1, 1, colors='k', linestyles='solid') # n = 0 noktasını işaretlemek için çizgi ekleme
plt.text(-1, -1, "n=0", fontsize=13) # n = 0 için metin ekleme
plt.xlabel('Ayrık zaman endeksi (n)'); plt.ylabel('Genlik');
plt.legend()
plt.grid()
plt.xticks(ticks=n);

Şekil 1.10: Kompleks eksponansiyel sinyal (\(\left | \alpha \right | < 1\)); gerçel ve sanal bileşenler

Gözlem: \(\alpha\) kompleks olduğunda osilasyon gözledik.

Yukarıdaki çizimle gerçel ve sanal bileşenleri n’ye göre ayrı ayrı çizdirdik. Kompleks uzayda ardışık noktaların arasına çizgi çizerek de görselleştirebilirdik. Altta örneğini görelim.

# Kompleks uzayda çizim
fig = plt.figure(figsize=(6,6))
plt.plot(exp_sig.real, exp_sig.imag)
plt.plot(exp_sig.real, exp_sig.imag, '.')
plt.xlabel('gerçel(x)')
plt.ylabel('sanal(x)')
plt.ylim(-2,2);plt.xlim(-2,2)
plt.grid()
# Bazı noktaları işaretleyelim
for n_0 in [-1, 0, 1, int(n[0])//2, int(n[-1])]:
  plt.text(exp_sig.real[n==n_0], exp_sig.imag[n==n_0], "n="+str(n_0), fontsize=13)

Şekil 1.11: Kompleks eksponansiyel sinyal (\(\left | \alpha \right | < 1\)); gerçel ve sanal bileşenler

Gözlem: \(\alpha\) kompleks olduğunda kompleks uzayda bir dönme hareketi gözlüyoruz. Norm 1’den küçük olduğu için, \(n\) pozitif artarken çember daralıyor.

Peki eğer norm 1’den büyük olursa: \(\left | \alpha \right | > 1\)

alfa = 1.05 * (0.975 + 0.125j)
print('alfa = ', alfa, '|alfa| = ', abs(alfa))
exp_sig = np.power(alfa, n)

fig = plt.figure(figsize=(15,3))
plt.stem(n, exp_sig.real, 'b', label = 'gerçel kısım')
plt.stem(n, exp_sig.imag, 'r', markerfmt='Dr', label = 'sanal kısım')
plt.vlines(0, -1.5, 1, colors='k', linestyles='solid') # n = 0 noktasını işaretlemek için çizgi ekleme
plt.text(-1, -1.5, "n=0", fontsize=13)
plt.xlabel('Ayrık zaman endeksi (n)'); plt.ylabel('Genlik');
plt.legend()
plt.grid()
plt.xticks(ticks=n);

alfa =  (1.02375+0.13125j) |alfa| =  1.0321291706952187

Şekil 1.12: Kompleks eksponansiyel sinyal (\(\left | \alpha \right | > 1\)); gerçel ve sanal bileşenler

Gözlem: Yine osilasyon var, bu sefer genlik pozitif zaman yönünde artıyor

Özel durum: \(\left | \alpha \right | = 1\)

# Kompleks sayıyı normuna bölerek normunun 1 olmasını sağlayalım
alfa = (0.975 + 0.125j) / abs(0.975 + 0.125j)
print('alfa = ', alfa, '|alfa| = ', abs(alfa))
exp_sig = np.power(alfa, n)

fig = plt.figure(figsize=(12,3))
plt.stem(n, exp_sig.real, 'b', label = 'gerçel kısım')
plt.stem(n, exp_sig.imag, 'r', markerfmt='Dr', label = 'sanal kısım')
plt.vlines(0, -1, 1, colors='k', linestyles='solid') # n = 0 noktasını işaretlemek için çizgi ekleme
plt.text(-1, -1.0, "n=0", fontsize=13)
plt.xlabel('Ayrık zaman endeksi (n)'); plt.ylabel('Genlik');
plt.legend()
plt.grid()
plt.xticks(ticks=n);

alfa =  (0.9918816646858506+0.12716431598536546j) |alfa| =  1.0

Şekil 1.13: Kompleks eksponansiyel sinyal (\(\left | \alpha \right | = 1\)); gerçel ve sanal bileşenler

Gözlem: Sinüzoidal bileşenlerimiz oldu ve genlik zamanla değişmiyor

\(\left | \alpha \right | = 1\) ise \(\alpha\)’yı \(e^{j\theta}\) olarak da yazabiliriz. Kodumuzu bu ifadeden/tanımdan yola çıkarak da yazabilirdik.

theta = np.angle(alfa) # theta'yı alfa'nın açısından hesaplayalım  
print('theta = ', theta, 'rad')
# Yeniden oluşturup kontrol edelim
alfa_yeni = np.exp(complex(0, theta)) # e^(j*theta)
print(alfa_yeni)

theta =  0.12750955821523827 rad
(0.9918816646858506+0.12716431598536546j)

Kompleks \(\alpha\) değerinin bir üst örnekte elde edilen (figürün hemen üzerinde yazdırılan) değerle aynı olduğunu görebiliriz. Euler formülü bu ilişkiyi ortaya koymaktadır:

Euler formulüne göre de \(e^{j\theta} = cos\theta + jsin\theta\) olarak ifade edilebilir.

Şekil 1.14: Euler dönüşümü

Yukarıda oluşturduğumuz \(x[n] = \alpha^n\) sinyali bu durumda \(x[n] = {e^{j\theta}}^n = cos\theta n + jsin\theta n\) olarak yazılabilir. Şimdi sinyalimizin iki bileşeni açıklık kazandı. Gerçel kısmı bir kosinüs sinyali (n=0’da 1 değeri alıyor), sanal kısmı ise bir sinüs sinyali (n=0’da 0 değeri alıyor)

Euler denklemini kullanarak sinüs ve kosinüs sinyallerini eksponansiyel üstel sinyallerden elde edebiliriz:

\[x[n] = {e^{j\theta n}} = \cos{\theta n} + j\sin{\theta n}\]

\[\cos{\theta n} = \frac{{e^{j\theta n}} + {e^{-j\theta n}}}{2}\]

\[\sin{\theta n} = \frac{{e^{j\theta n}} - {e^{-j\theta n}}}{2j}\]

Kosinüs sinyalini eksponansiyel sinyallerden oluşturmayı deneyelim.

# Yukarıda alfa'nın açısı olarak elde ettiğimiz theta'yı kullanalım
x = (np.exp((0+1j) * theta * n) + np.exp((0-1j) * theta * n))/2
fig = plt.figure(figsize=(12,3))
plt.plot(n, x)
plt.ylabel('Genlik');plt.xlabel('Ayrık zaman endeksi (n)')
plt.grid();plt.show()

Şekil 1.15: \(\frac{{e^{j\theta n}} + {e^{-j\theta n}}}{2}\) sinyali

Kosinüs sinyalini elde etmiş olduk. Bunu eksponansiyel/üstel sinyal ile sinüzoid sinyaller arasındaki ilişkiye değinmek için bu şekilde yaptık. Sinyali oluşturmak için sinüzoidal sinyalin yaygın kullanılan tanımını doğrudan kullanabilirdik. Altta bunu ele alıyoruz.

1.1.3. Sinüzoid sinyaller, frekans, periyod

(İng: sinusoidal signals, frequency, period)

Okuma: Neden sinuzoidler önemlidir?, Julius Orion Smith III

Bir sinüzoidal sinyalin yaygın kullanılan tanımını ele alırsak sinyalin genlik (\(A\)), frekans (\(f\)) ve faz (\(\theta\)) gibi üç temel parametresi olduğunu görürüz.

\[x(t) = Asin(2\pi ft+\theta)\]

Burada \(t\) sürekli zaman değişkenidir ve saniye birimindedir. \(f\) saniyedeki tekrar sayısı olan frekansa karşılık gelmekte olup birimi Hz’dir.

Şimdi önemli bir adım atalım: belirli bir frekansta ve uzunlukta/sürede bir sinüzoidal sinyal oluşturup dinlemek isteyebiliriz. Frekansı uygun aralıkta seçtiğinizde laptop hoparlörünüzden duyabileceğiniz bir ses sinyali oluşturabilirsiniz. (Duyabildiğimiz teorik frekans aralığı 20Hz-20kHz olmakla beraber (eğer genç bir kadın değilseniz) muhtemelen üst sınırınız 20kHz’in altındadır ve laptop hoparlörünüzle çok düşük frekanslarda duyabileceğiniz şiddette ses de oluşturamayacaksınızdır. Uygun değerleri deneme yanılma yoluyla bulabiliriz. Ama dikkat: deneyleriniz sırasında sesi açıp kulaklık kullanmak risklidir, kulağınızın hassas olduğu frekanslarda çok şiddetli bir sese maruz kalabilirsiniz. Bu deneylerde ses çıkış seviyesini en yükseğin %30’una almanızı öneririz.)

Sürekli zamanda sinyal oluşturamayacağımız için ayrık zaman üzerinden düşünmeliyiz. Bunun için saniyede kaç örnek kullanacağımıza karar vermeliyiz (bu büyüklüğe örnekleme frekansı (İng: sampling rate/frequency) adı verilip yine Hz cinsinden ifade edilir). Örneğin ses CD formatı örnekleme frekansı olan 44100Hz’i kullanalım. Ve 0.5 saniye uzunluğunda bir sinyal oluşturmayı hedefleyelim. Bu durumda zamanda ayrık noktalarının kaçıncı saniyelere geldiğini (denklemde kullanacağımız t değerlerini) bir dizi içerisine yerleştirip kodumuzda bu diziyi kullanabiliriz.

ornekleme_frekansi = 44100
sure = 0.5 # Saniye cinsinden süre
# 0-1 saniye arasında örnekleme_frekansı adet değer oluşturabiliriz (0.5 saniyede ise 0.5*ornekleme_frekansi adet)
t = np.linspace(0, sure, num=int(sure*ornekleme_frekansi), endpoint=False)
# Veya daha yaygın kullanılan alternatif (sadece sureyi değiştirmemiz yeterli olacak )
t = np.arange(0, sure, 1/ornekleme_frekansi) # 0-sure arasında 1/ornekleme_frekansi adımlarla değerler al
print("t'nin ilk 4 değeri:", t[:4], ", son değeri:",t[-1])

t'nin ilk 4 değeri: [0.00000000e+00 2.26757370e-05 4.53514739e-05 6.80272109e-05] , son değeri: 0.49997732426303854

Artık sinüzoidin diğer parametrelerini de tanımlayıp sinyalimizi sentezleyebiliriz:

A = 1 # Sinyal genliği
f = 200 # Sinyal frekansı
theta = 0 # Açı; t=0'da fazın değerini belirler 
x = A * np.sin(2 * np.pi * f * t + theta)
fig = plt.figure(figsize=(16,3))
plt.plot(t, x)
plt.ylabel('Genlik');plt.xlabel('zaman(saniye)')
plt.show()

Şekil 1.16: Sinüzoidal sinyal örneği. Örnekleme frekansı : 44100Hz , temel titreşim frekansı: 200 Hz, süre/uzunluk: 0.5 saniye

# Oluşturduğumuz sesi Jupyter defteri içerisine çalınabilir ses içeriği olarak ekleyelim 
IPython.display.Audio(x, rate=ornekleme_frekansi)

Yukarıdaki üçgene (Play/Çal butonuna ) tıklayarak oluşturduğumuz 200Hz frekanslı sesi dinleyebilirsiniz.

Sinüzoidalin parametrelerinin sinyale etkisini alttaki interaktif çıktıyı kullanarak (slider’lardaki topları kaydırarak oluşan dalga formunu gözleyerek) inceleyebilirsiniz. (Etkileşim özelliğini kullanmak için defteri Colab’de çalıştırmanız gerekecektir)

#Etkileşim araçlarıyla sinyal sentezleme fonksiyonu
def plot_sine(A = FloatSlider(min=0.1, max=1, step=0.1, value=0.5), 
              f0 = FloatSlider(min=100, max=2000, step=1, value=500), 
              phi = FloatSlider(min=-np.pi, max=np.pi, step=0.1)):
  fs = 10000 #örnekleme frekansı için seçilen değer
  T = 1 / fs #örnekleme periyodu
  n = np.arange(50) #ayrık zaman endeks serisi
  t = n * T #sürekli zaman serisi
  x = A * np.cos(2 * np.pi * f0 * t + phi) #sinyal oluşturma
  
  fig = plt.figure(figsize=(12,3))
  plt.plot(t, x)
  plt.plot(t, x, 'r.')#kırmızı noktalar eklenmesi
  plt.ylim(-1,1)
  plt.grid()
  plt.ylabel('Genlik')
  plt.xlabel('Zaman (saniye)')
  plt.show()

#Fonksiyonun çağırılması
interact(plot_sine);

Şekil 1.17: Genlik, frekans ve fazı değiştirilebilen sinüzoidal sinyal. (Bu figür etkilişimlidir. Html sürümünde etkileşim çalışmayacaktır. Etkilişimi kullanabilmek için Jupyter defterini çalıştırmanız gerekmektedir.)

# Aşağıdaki kodda parametreleri değiştirip oluşan sinyali dinleyiniz
fs = 44100 # Örnekleme frekansı (fs: frequency of sampling)
f0 = 300 # Sinus dalgasının temel titreşim frekansı
sure = 2 # Süre 2 saniye
t = np.arange(0, sure, 1/fs)
x = np.cos(2 * np.pi * f0 * t )
IPython.display.Audio(x, rate=fs)

Egzersiz: Örnekleme frekansının 10kHz, sinyal frekansının 200Hz olarak verildiği durumda tam 5 periyot uzunluğunda bir sinüzoidal sinyal oluşturup çizdiren bir kod parçası yazınız.

# Örnek çözüm
fs = 10000
f0 = 200
T = 1 / fs # örnekleme periyodu (saniye)
T0 = fs / f0 # Örnek sayısı cinsinden dalga boyu (sinyal periyodu)
print('Periyod = ', T0, 'örnek, ',1/f0, 'saniye')
n = np.arange(T0 * 5) # 5 periyod uzunluğunda ayrık zaman endeks serisi oluşturulması
t = n * T # saniye cinsinden zaman serisinin endeks serisinden oluşturulması
theta = 0; A = 1
x = A * np.cos(2 * np.pi * f0 * t + theta)

fig = plt.figure(figsize=(12,3))
plt.plot(t, x)
plt.plot(t, x, 'r.')
plt.grid()
plt.ylabel('Genlik')
plt.xlabel('Zaman (saniye)')
plt.show()

Periyod =  50.0 örnek,  0.005 saniye

Şekil 1.18: 5 periyot uzunluğunda bir sinüzoidal sinyal

Egzersiz: Bir ses sinyalinin küçük bir parçası üzerinde yapılan gözlemde dalga boyut 50 örnek olarak gözlenmiştir. Örnekleme frekansı 24kHz ise, sinyalin frekansı nedir?

1.1.4. Birden fazla osilasyon içeren sinyaller

Yukarıda temel sinyallerle ilgili özetimizi tamamlamış olduk. İnceleyeceğimiz sinyalleri bu temel sinyallerin toplamı şeklinde ifade ediyor olacağız. Bir sonraki örnekte 3 sinüzoidin toplamından sentezlenen bir sinyali ele alacağız. Sinüzoidleri 400Hz, 800Hz ve 1200Hz’te oluşturup toplayacağız.

Defterin ilerleyen bölümünde bir toplam sinyali verildiğinde ters problem olan sinyalin bileşenlerine ayırılması problemini de ele alacağız.

# Keyfi olarak seçilen bazı parametreler
fs = 10000 # örnekleme frekansı (Hz)
f0 = 400 # temel titreşim frekansı (Hz) (bileşenlerin frekansları bu frekansın tam katı)
# Sinüzoidlerin genlik ve faz değerleri (3 sinüzoide dair değerler dizilerde tutuluyor)
A = np.array([0.3, 0.6, 0.4])
phi = np.array([np.pi/8, np.pi/4, -np.pi/4])

# Seçtiğimiz değerleri görselleştirelim
#  Genlik değerlerini frekansa göre çizdirelim
#  Faz değerlerini frekansa göre çizdirelim
#  Bu tür (frekansa göre değişimin gösterildiği) çizimlere 'spektrum' ismini vereceğiz
genlik_spek = np.zeros((fs // 2, ))
genlik_spek[f0 * np.array([1, 2, 3])] = A
faz_spek = np.zeros((fs // 2, ))
faz_spek[f0 * np.array([1,2,3])] = phi

print('Genlik ve Faz Sepektrumu, fs = ', fs, ', f0 =', f0)
fig = plt.figure(figsize=(15,3))
ax1 = plt.subplot(1,3,1)   
ax2 = plt.subplot(1,3,2)
ax1.plot(genlik_spek);ax1.plot(genlik_spek, '.', label = 'genlik spektrumu')
ax2.plot(faz_spek);ax2.plot(faz_spek, '.', label = 'faz spektrumu')
ax1.set_xlabel('Frekans(Hz)');ax1.set_ylabel('Genlik');
ax2.set_xlabel('Frekans(Hz)');ax2.set_ylabel('Faz(radyan)');
ax1.legend();ax2.legend();

# Sinyalin sentezlenmesi
T = 1 / fs # örnekleme periyodu (saniye cinsinden): ardışık örnekler arası süre
n = np.arange(100)
t = n * T
# İçi sıfırlarla dolu bir sinyal oluşturup bunun üzerine sinüs sinyallerini 
#  toplayalım. Bu şekilde birden fazla osilasyon çeren bir sinyalimiz olacak
x = np.zeros_like(t) # t uzunluğunda içi sıfırlarla dolu bir vektörün yaratılması
for k in [1, 2, 3]:  # her döngüde bir sinüs oluşturulup sinyale eklenmesi
  x += A[k-1] * np.cos(2 * np.pi * (k * f0) * t + phi[k-1])

fig = plt.figure(figsize=(15,3))
plt.plot(t, x)
plt.plot(t, x, 'r.')
plt.ylim(-3,3)
plt.grid()
plt.ylabel('Genlik')
plt.xlabel('Zaman (saniye)')
plt.show();

Genlik ve Faz Sepektrumu, fs =  10000 , f0 = 400

Şekil 1.19: Üç sinüzoidalin toplamı şeklinde sentezlenen sinyal(alt şekil) ve sinüzoidal bileşenlerin genlikleri ve fazları (üst şekiller)

1.2. Temel işlemlere giriş

Sinyal işlemede üç tür çarpma işlemi çok temel bir yer teşkil etmektedir:

• Sinyallerin/vektörlerin skaler çarpımı

• Sinyallerin/vektörlerin eleman-elemana çarpımı

• Polinom çarpımı veya diğer adıyla konvolüsyon.

Şimdi bunları ele alalım ve kullanımlarını örneklendirelim.

1.2.1. Skaler çarpım

(İng: dot product)

Vektörlerin/sinyallerin skaler çarpımı:

Yukarıdaki örnekte ilk analiz probleminden bahsetmiş olduk: bir sinyal verildiğinde onu bileşenlerine ayırma işlemi. Bu noktada lineer cebir dersinden bildiğimiz vektör işlemleri yardımımıza yetişecek. Nasıl mı? Verilen herhangi bir vektörü nasıl birim vektörlerin bileşimi cinsinden yazabiliyorsak sinyalleri de birim sinyallerin toplamı şeklinde yazabileceğiz. Bir vektörün birim vektörlere bölünmesi işlemini, vektörün birim vektörler yönündeki izdüşümlerini bularak (bunun için de vektör ile birim vektörü skaler çarparak) gerçekleştirebiliriz. Benzer şekilde sinyalleri birim sinyaller cinsinden yazarken de benzer bir vektör çarpım işlemini kullanacağız. Öncelikle 2 boyutlu uzayda verilen bir vektörün birim vektörler cinsinden yazılmasını ele alalım.

İki boyutlu uzayda bir \(\overrightarrow{a}\) vektörünü ele alalım. Bu vektörü, \(\overrightarrow{e_i}= [1, 0]\) ve \(\overrightarrow{e_j}= [0, 1]\) taban vektörlerinin bileşimi şeklinde yazabiliriz.

Şekil 1.20: İki boyutlu uzayda bir vektör ve birim baz vektörleri

Genel ifadesiyle \(\overrightarrow{a}\) vektörünü \(\overrightarrow{e_k}\) baz vektörlerinin ağırlıklı toplamı olarak yazabiliriz:

\[\overrightarrow{a} = \sum_{k}^{}a_k\overrightarrow{e_k}\]

Burada \(a_k\) skaler bir değer olup \(\overrightarrow{a}\) vektörünün \(\overrightarrow{e_k}\) vektörü’ne izdüşümü boyutundadır ve ağırlıklı toplamdaki çarpanlara karşılık gelmektedir. Örnek üzerinden ilerleyelim.

# Örnek vektör
a = np.array([6, 2])
# Taban vektörleri
e_i = np.array([1, 0]) 
e_j = np.array([0, 1])
# a vektörünün taban vektörleri cinsinden ifadesi
a_temsil = 6 * e_i + 2 * e_j
# Karşılaştırma
print('a vektörü:', a, 'baz vektörleri toplamı şeklinde ifadesi:', a_temsil)

a vektörü: [6 2] baz vektörleri toplamı şeklinde ifadesi: [6 2]

Vektörü baz vektörleri toplamı şeklinde yazabileceğimizi bir örnek üzerinde gördük, şimdi koda elle yazdığımız çarpanları (6 ve 2) bulan bir program yazalım. Bunun için vektörün birim taban vektörü yönündeki izdüşümünü bulmamızı sağlayan skaler çarpımı (dot product) kullanacağız.

\[\overrightarrow{A}.\overrightarrow{B} = \sum_{i=1}^{n} A_iB_i = A_1B_1 + A_2B_2 + ... + A_nB_n\]

Şekil 1.21: Vektörlerin skaler çarpımı ile izdüşüm hesaplanması

#Yukarıdaki formülden yola çıkarak skaler çarpımı yazalım
def skaler_carpim(A, B):
  if len(A) != len(B):
    print("Vektörlerin skaler çarpımı yapılabilmesi için boyutları aynı olmalı")
    return -1 # Hata olduğunu temsilen -1 değeri döndürelim
  toplam = 0
  for a_i, b_i in zip(A, B):
    toplam += a_i * b_i
  return toplam

\(\overrightarrow{a}\) vektörünün \(\overrightarrow{e_k}\) baz vektörleri (İng: basis vectors) cinsinden yazılabilmesi için \(\overrightarrow{e_i}\) ve \(\overrightarrow{e_j}\) vektörlerine izdüşümlerin hesaplanması (bu işleme “analiz işlemi” diyebiliriz, çünkü sinyalimizi bileşenlerine ayırma yönünde attığımız bir adım bu)

# Analiz işlemi:
a_i = skaler_carpim(a, e_i) 
a_j = skaler_carpim(a, e_j) 
# Numpy kütüphanesinin hazır fonksiyonlarını kullanmak istersek:
# a_i = np.dot(a, e_i)
# a_j = np.dot(a, e_j)
print('a vektörünün baz vektörler cinsinden temsili = ', a_i, '* e_i + ', a_j, '* e_j')

a vektörünün baz vektörler cinsinden temsili =  6 * e_i +  2 * e_j

Vektörün baz vektörüne dik olması durumunda izdüşümü sıfır olacaktır. Skaler çarpım işlemini, iki vektörün dik olup olmadığını kontrol etmek için de kullanabiliriz. Örneğin elimizdeki baz vektörlerinin (\(\overrightarrow{e_i}= [1, 0]\) ve \(\overrightarrow{e_i}= [0, 1]\)) dikliğini kontrol edelim

e_inin_izdusumu = skaler_carpim(e_i, e_j)
print("e_i'nin e_j'ye izdüşümü:", e_inin_izdusumu)
if e_inin_izdusumu == 0:
  print('Vektörler dik')
else:
  print('Vektörler dik değil')

e_i'nin e_j'ye izdüşümü: 0
Vektörler dik

Şimdi bir sinyalin bileşenlerinin toplamı şeklinde ifadesine ve sinyalden yola çıkarak bileşenlerin genliklerinin bulunması analiz problemine geçebiliriz. Örneğin elimizdeki bir sinyali (vektör olarak da düşünebiliriz) bir dizi sinüzoidal sinyalin(baz vektörleri) toplamı şeklinde yazmak istediğimizi düşünelim:

\[ x[n] = \sum_{k}^{}a_ksin(\phi_k(n))\]

\[\phi_k(n) = 2\pi f_k t + \theta_k\]

burada \(sin(\phi_k(n))\)’i \(k.\) baz vektörü olarak tanımlamış olduk. Acaba bu şekilde seçtiğimiz baz vektörleri birbirine dik olabilir mi? Küçük deney yapalım, örneğin 100Hz ve 200Hz’te iki sinüzoidal sinyalin skaler çarpımına bakalım:

t = n * T
sig_100Hz = np.sin(2 * np.pi * 100 * t )
sig_200Hz = np.sin(2 * np.pi * 200 * t )
np.dot(sig_100Hz, sig_200Hz)

1.519617764955683e-15

Pratik olarak sıfır elde ettik. Deneyimizi bir adım öne taşıyalım. Örneğin 10kHz örnekleme frekansında, k. baz vektörü k*100Hz frekansında olmak üzere, bir dizi baz vektörü oluşturup bütün baz vektörlerinin ikili skaler çarpımını hesaplayalım ve elde ettiğimiz değerleri bir matriste toplayıp görselleştirelim.

fs = 10000;f0 = 100
T = 1 / fs; T0 = fs/f0
t = np.arange(T0) * T # Sinyallerimiz 100Hz'lik sinyalin 1 periyodu uzunluğunda olsun

baz_vektor_sayisi = 10
skaler_carpim_matrisi = np.zeros((baz_vektor_sayisi, baz_vektor_sayisi))

for i in range(1, baz_vektor_sayisi + 1):
  baz_vektor_i = np.cos(2 * np.pi * (i * f0) * t )
  for j in range(1, baz_vektor_sayisi + 1):
    baz_vektor_j = np.cos(2 * np.pi * (j * f0) * t )
    skaler_carpim_matrisi[i-1,j-1] = np.dot(baz_vektor_i, baz_vektor_j)

# Matrisin ekrana yazdırılması
print('Baz vektörlerinin/sinyallerinin ikili skaler çarpım matrisi değerleri:')
for i in range(skaler_carpim_matrisi.shape[0]):
  satir = ''
  for j in range(skaler_carpim_matrisi.shape[1]):
    satir += '{:.2f}\t'.format(skaler_carpim_matrisi[i,j])
  print(satir)

# Matrisin görselleştirilmesi
plt.imshow(skaler_carpim_matrisi)
plt.colorbar();
plt.title("100Hzin tam katlarında frekanslara sahip sinüzoidlerin ikili skaler çarpımları")
plt.xlabel('Baz vektör endeksi ');
plt.ylabel('Baz vektör endeksi ');

Baz vektörlerinin/sinyallerinin ikili skaler çarpım matrisi değerleri:
50.00	0.00	-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	0.00	-0.00	0.00	
0.00	50.00	-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	0.00	-0.00	
-0.00	-0.00	50.00	0.00	-0.00	0.00	-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	
-0.00	-0.00	0.00	50.00	-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	
-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	50.00	0.00	-0.00	0.00	0.00	-0.00	
-0.00	-0.00	0.00	-0.00	0.00	50.00	-0.00	0.00	0.00	-0.00	
-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	50.00	0.00	0.00	-0.00	
0.00	-0.00	-0.00	-0.00	0.00	0.00	0.00	50.00	-0.00	-0.00	
-0.00	0.00	-0.00	-0.00	0.00	0.00	0.00	-0.00	50.00	-0.00	
0.00	-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	-0.00	50.00	

Şekil 1.22: Sinüzoidal baz vektörlerinin/sinyallerinin karşılıklı skaler çarpımları sonucu elde edilen matris (yüksek değerler sarı, düşük değerler lacivert olarak renklendirilmiştir)

Gözlem: Her bir baz vektörünün diğer baz vektörüleriyle skaler çarpımı sıfır verdi. Vektörün kendisi ile çarpımı ise normunun karesini verecektir.

\[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} = \| a \|^2\]

Bu örneğimizde, baz vektörünün kendisiyle skaler çarpımını hesapladığımızda, bu bize sinyaldeki değerlerin kareleri toplamı olan bir değer vermiş oldu.

Skaler çarpımın sinyal analizinde kullanım örneği:

Şimdi deneyimizi bir adım daha öteye taşıyalım: acaba verilen bir sinyali(kontrollü deney olması için sinüzoidlerden oluşturalım) bu baz vektörlerinin toplamı şeklinde ifade edebilir miyiz? her bir baz vektörü yönünde izdüşümü skaler çarpım ile bulabilir miyiz?

Sinyalimizi şu sinyalin örneklenmiş hali olarak oluşturalım:

\[x(t) = 0.3 sin(2\pi200t) + 0.6 sin(2\pi300t) + 0.4 sin(2\pi500t)\]

Baz vektörlerimizi de 100Hz’in katlarında sinüzoidler olarak seçelim:

\[e_k(t) = sin(2\pi k100t)\]

Sinyalimizi bu baz vektörleri ile skaler çarpıma tabi tutup izdüşümleri hesaplayalım. Şunu merak ediyoruz: yukarıdaki vektör işlemlerinde olduğu gibi skaler çarpım ile sinyali baz sinyallerinin toplamı şeklinde yazabilmek için gerekli skaler çarpanları elde edebiliyor muyuz? Bu soruyu, sinyalin ilk tanımında kullanılan katsayılarla hesapladığımız katsayıları karşılaştırarak cevaplamaya çalışacağız.

fs = 10000;f0 = 100
# Sinyalimizin genlikleri: 0 olan yerlerde bileşen yok, k=2,3 ve 5'te bileşenler mevcut
A = np.array([0, 0.3, 0.6, 0, 0.4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]) # Sentez sırasında kullanılan genlikler
sinyal_uzunlugu = 300 # rasgele seçildi
T = 1 / fs
n = np.arange(sinyal_uzunlugu)
t = n * T
# Sinyalimizin kümülatif toplam ile sentezlenmesi
#  sıfırlardan ibaret bir vektör oluşturup bileşenleri üzerine toplayacağız
x = np.zeros_like(t)
for k in range(len(A)):
  x += A[k] * np.cos(2 * np.pi * (k * f0) * t )

# Analiz adımları 
baz_vektor_sayisi = 15 # Analizimizde 15 adet baz vektörü kullanalım
# Skaler çarpımla elde edeceğimiz izdüşüm değerlerini bir vektörde (kestirilen_A) toplayalım
kestirilen_A = np.zeros((baz_vektor_sayisi, ))
for k in range(baz_vektor_sayisi):
  baz_vektor_k = np.cos(2 * np.pi * (k * f0) * t ) # baz sinyalinin oluşturulması
  kestirilen_A[k] = np.dot(x, baz_vektor_k) # izdüşüm hesabı bu adımda gerçekleştiriliyor: analiz sonucu elde edilen genlikler

# Analiz sonucu elde ettiğimiz değerler ile sentez sırasında kullanılan değerleri karşılaştıralım:
plt.plot(kestirilen_A / (t.size / 2), 'ro', markersize=10, label = 'izdüşüm değerleri / (uzunluk/2)')
plt.plot(A , 'b.', markersize=10, label = 'sentezde kullanılan değerler')
plt.title('Sinüzoidal bileşenler')
plt.xlabel('Baz vektör endeksi k')
plt.ylabel('x_i')
plt.legend();
plt.grid();

Şekil 1.23: Sinyali sentezlerken kullanılan genlikler ile analizle kestirilen değerlerin karşılaştırılması

Skaler çarpım ile elde edilen, sinyaldeki bileşenlerin büyüklükleri(hesaplanan değerler) ile sinyali oluştururken kullandığımız değerler(çizimde noktalar üstüste denk gelerek) örtüştü. Diğer bir deyişle: sinyali oluştururken kullanılan büyüklükleri toplam sinyalini analize tabi tutarak (baz vektörleriyle skaler çarparak) elde edebildik. O zaman doğadan kaydettiğimiz herhangi bir sinyali de bu şekilde bileşenlere ayırabiliriz.

Fourier Dönüşümü: Bu örnekte bir sinyalin baz vektörleri/sinyalleri tarafından ifadesinin skaler çarpım ile elde edilebileceğini gördük. Bu, bizim sinyal işlemede çok sık başvuracağımız bir işlem olacak. Kullandığımız dönüşümler temelde bu işleme dayanacak. Örneğin Ayrık Zaman Fourier Dönüşümü (Discrete Time Fourier Transform):

\[X(\omega) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}\]

tanımında baz vektörlerimiz/sinyallerimiz \(e^{-j\omega n}\), hesaplanan izdüşüm ise \(X(\omega)\) olarak ifade edilmiş oldu. Her bir \(\omega\) değeri için bir baz vektörü/sinyali mevcut ve bu baz vektörü ile eldeki sinyal skaler çarpma ile çarpıldığında sinyalin bu baz vektörü üzerine izdüşümünün büyüklüğü (bir diğer ifade ile sinyalin içerisinde o frekanstaki bileşenin büyüklüğü/genliği) hesaplanıyor. İşin ilginç yönlerinden biri de \(X(\omega)\) değerinin kompleks olması; genlik ve fazının sinyal bileşeninin genliği ve fazıyla doğrudan ilişkili olmasıdır.

Fourier dönüşümü birçok ders ve kitapta detaylı olarak konu edildiği için burada açıklamaya girişmeyeceğiz. İleride spektrumda gözlemlediklerimizi anlamlandırmamızı kolaylaştırmayı amaçlayan defterlerimiz var ancak orada da dönüşüm işleminin detaylarına girmeyeceğiz. Bu konuda varolan kaynakları inceleyebilirsiniz. Bizim önerdiklerimiz:

• Fourier Analysis by Steve Brunton

• Audio signal processing for music applications by Xavier Serra

Fourier dönüşüm polinomu ?!

Bu toplam ifadesinin terimlerini yazıp incelediğimizde aslında bir polinom olduğunu farkederiz. Örneğin sınırlı uzunlukta (4 örnek içeren) bir \(x[n]\) sinyali alalım: \(x = [x[0], x[1], x[2], x[3]]\). \(X(w)\)’nın terimlerini yazarsak;

\(X(\omega) = \sum_{n = 0}^{3}x[n]e^{-j\omega n}\)

\( = x[0]e^{-j0\omega} + x[1]e^{-j1\omega} + x[2]e^{-j2\omega} + x[3]e^{-j3\omega}\)

\( = x[0] + x[1](e^{j\omega})^{-1} + x[2](e^{j\omega})^{-2} + x[3](e^{j\omega})^{-3}\)

Değişken dönüşümü yaptığımızda bunun bir polinom olduğunu görmek kolaylaşacak;

\(z = e^{j\omega}\) alırsak; \(X(z) = x[0] + x[1](z)^{-1} + x[2](z)^{-2} + x[3](z)^{-3}\)

Daha genel ifadesiyle;

\[X(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}\]

Bu dönüşüme Z-transform adı verilmekte ve temelde toplam şeklinde yazılmış bir polinomu ifade etmektedir; öyle bir polinom ki katsayıları sayısal sinyalimizin örnekleri.

Şimdi yukarıda sinüsler toplamı şeklinde sentezlediğimiz örneğe (Şekil 1.19) tekrar dönelim. 100Hz’in tam katı frekanslara sahip sinüs sinyallerini baz vektörleri olarak kullanıp sinyalle skaler çarpmış ve izdüşümler hesaplamıştık. Bu şekilde sinyali baz vektörleri cinsinden yazabildiğimizi, analizle gerçek değerlere ulaşabildiğimizi görmüştük (Şekil 1.23). Bu sinyalin Fourier dönüşümünü hesaplayıp inceleyelim. Bu hesabı yukarıdaki polinom bakış açısını ve numpy kütüphanesinde verilen bir polinomun bir noktadaki değerini hesaplayan numpy.polynomial.polynomial fonksiyonu yardımıyla yapacağız.

İlk olarak numpy.polynomial.polynomial fonksiyonunun kullanımına örnek verelim:

\(P(z) = 1-z+2z^2\) polinomunun \(z=3\)’teki ve \(z=4\)’teki değerini hesaplayıp yazdıralım. Hesabın şu sonuçları vermesini bekliyoruz: \(P(3) = 1 + (-1) \times 3 + 2 \times 3^2 = 16\), \(P(4) = 1 + (-1) \times 4 + 2\times 4^2 = 29\)

from numpy.polynomial.polynomial import polyval as np_polyval
np_polyval([3, 4], [1,-1,2]) # ilk girdi: z değerleri, ikinci girdi: polinom katsayıları

array([16., 29.])

Sinyalimizin sınırlı uzunluğa sahip olduğunu ve değerlerin pozitif zamanda olduğunu varsayalım.

\[X(\omega) = \sum_{n = 0}^{N}x[n]e^{-j\omega n} = \sum_{n = 0}^{N}x[n](e^{-j\omega})^n\]

np_polyval fonksiyonu ile \(X(w)\)’yı hesaplamak için fonksiyonun ilk girdisi \(e^{-j\omega}\), ikinci girdisi \(x[n]\) vektörü olarak verilebilir.

def frekans_cevabi_cizdir(x_n, frekans_nokta_sayisi=256):
  # w değerlerini 0-pi arası alalım (bunun sebebini daha sonra açıklayacağız)
  w = np.linspace(0, np.pi, num=frekans_nokta_sayisi, endpoint=True)
  X_w = np_polyval(np.exp(-1j * w), x_n)
  genlik_w = abs(X_w)
  plt.figure(figsize=(8,3))
  plt.title('Genlik spektrumu')
  plt.plot(w, genlik_w, 'b')
  plt.ylabel('|X(w)|', color='b')
  plt.xlabel('w [radyan/örnek]')
  plt.grid()
  plt.show()
# Çizdirme fonksiyonunu çağıralım:
frekans_cevabi_cizdir(x)

Şekil 1.24: \(X(w)\) polinomunun w’ya göre aldığı değerler (kompleks olan değerlerin sadece genlikleri çizdirilmiştir)

Şekil 1.19, 1.23 ve 1.24’ü karşılaştırdığımızda Fourier dönüşümü hesabı ile elde ettiğimiz genlik spektrumunda da sinyali sentezlerken kullanılan 3 sinüzoidal bileşeni gözleyebiliyoruz. Bununla beraber bazı ek bileşenler de gözlemekteyiz. Bu bileşenleri daha sonra spektrum konusunu detaylı ele aldığımız bölümde açıklayacağız.

1.2.2. Eleman-elemana çarpım

(İng: element-wise product, Hadamard product)

Vektörlerin/sinyallerin eleman-elemana çarpımı:

Verilen iki vektörün eleman-eleman(element-by-element) çarpımı karşılıklı elemanların çarpılıp elde edilen sonucun aynı endekse sahip olacak şekilde sonuç vektörüne sonucun yerleştirilmesi ile gerçekleştirilir.

\(\overrightarrow{a}\) ve \(\overrightarrow{b}\) vektörlerinin eleman-eleman çarpımlarının sonucu \(\overrightarrow{c}\) ise, i endeks veya zaman olmak üzere:

\(c_i = a_i b_i\)

Bu şekilde çarpma işleminin sinyal işleme içerisinde kullanımına örnek olarak pencereleme işlemini ele alabiliriz. Bu örnek için öncelikle bir ses dosyasını internetten indirip bir dizi içerisine okuyalım.

import urllib.request # Dosya indirmek için kullanacağımız kütüphane 
import soundfile as sf # Ses dosyalarını okumak için kullanacağımız kütüphane 

url = 'https://github.com/MTG/sms-tools/raw/master/sounds/sax-phrase-short.wav'
urllib.request.urlretrieve(url,'sax-phrase.wav')
ses, ornekleme_fr = sf.read('sax-phrase.wav')
print('Örnekleme frekansı: ', ornekleme_fr, 'Hz')
IPython.display.Audio(ses, rate=ornekleme_fr)

Örnekleme frekansı:  44100 Hz

Sinyalimizi çizdirelim. Saniyede 44100 örnek var. x-ekseninde saniye cinsinden zamanı gösterebilmek için x-eksenini temsilen bir \(t\) dizisi oluşturalım ve çizimde kullanalım:

# Çizimde x ekseninde noktaların zamanda yerlerini içeren vektörün(t) oluşturulması 
t = np.arange(0, ses.size/ornekleme_fr, 1/ornekleme_fr)
fig = plt.figure(figsize=(12,3))
plt.plot(t,ses)
plt.xlabel('Zaman (saniye)');plt.ylabel('Genlik');

Şekil 1.25: Sayısal ses sinyali örneği

Bu sinyalin volümünü başlangıçta yavaş yavaş artırıp, bitişte de yavaş yavaş azaltmayı tercih edebiliriz. Bu işleme müzik ses işlemede “fade in fade out” adı veriliyor. Bunu sinyali aynı boyutta bir üçgen pencere ile eleman eleman çarparak gerçekleştirebiliriz:

ucgen_pencere = signal.get_window('triang', ses.size) # ses sinyali ile aynı örnek sayısı olan üçgen pencere oluşturma
pencerelenmis_ses = ses * ucgen_pencere # Eleman-eleman çarpma işlemi
fig = plt.figure(figsize=(12,6))
plt.subplot(2,1,1)
plt.plot(t,ucgen_pencere,label='pencere sinyali');plt.legend()
plt.subplot(2,1,2)
plt.plot(t,pencerelenmis_ses,label='pencerelenmiş ses sinyali');plt.legend()
plt.xlabel('Zaman (saniye)');

Şekil 1.26: Sinyalin üçgen pencere fonksiyonu ile eleman-elemana çarpılması. Üst şekil: pencere fonksiyonu, alt şekil: pencere fonsiyonu ile çarpılmış ses sinyali.

Pencerelenmiş sinyali dinleyebiliriz:

IPython.display.Audio(pencerelenmis_ses, rate=ornekleme_fr)